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乘法观念是如何建构的？
到了二年级，我们的儿童就要开始学习乘除法了，乘法如果是直接由形式化的加法算式直接过渡到形式化的乘法算式，从客观的知识逻辑看没有任何问题，但是，这样从形式化的运算到另一种形式化的运算，是不符合儿童认知发展规律的。此阶段的儿童需要大量的动手操作，积累动作经验，因为学习是一个从手到脑，从动作游戏到思维游戏的过程，当然乘法的学习也不例外。
前边我们已经知道了，一年级儿童也是通过大量的动作游戏，积累动作经验，随着经验的内化，从而形成加减法观念的，加法是集合的合并，减法是集合的拆分，当然，这只是从基数角度分析，我们也可以通过跳数轴去分析它的序数含义。乘法呢？乘法是对“倍数”关系的命名。在学习乘法之前，大部分儿童已经使用过这种数量关系，但往往是无意识的使用，更不能用准确的语言来描述这种关系。
他们需要大量的动手操作积累有关的经验，从而才有可能聚焦这种倍数关系，才可能会产生命名的渴望。如：10个花瓶，每个花瓶里插1朵花，花朵数量是花瓶数量的一倍；如果每个花瓶插2朵花，那么花朵数量是花瓶数量的2倍......只有这样，在丰富的动手操作之后，才能聚焦这种新的关系，进而将这种新的关系命名成“倍数”关系。接下来，还可以重新回到开始的游戏情景中，进一步理解10的1倍是10，10的2倍是20......最后，追问儿童，如何用算式表示花朵的数量？儿童当然可以用连加算式来表示。但是，前边我们已经知道加法是任意几个集合的合并，但这里的集合比较特殊，每个集合都是一样多，其实呀，这种非常非常特别的“倍数关系”对应着一种新的运算——“乘法”。
在“花瓶与花朵”游戏中命名乘法之后，可以再与儿童玩棋子游戏，目的是沟通“加法”与“乘法”之间的逻辑关系。如，一行有4颗棋子，有这样的6行，首先，儿童应该聚焦4×6或6×4，然后，儿童渴望快速的得到答案，便无意识的使用加法，这样可以有效的建立4×6与24之间的之间关系。
接下来还可以增加游戏的挑战性，通过文字语言和数学符号语言之间的相互转换，增加两种运算之间的关系。如：一行有4颗棋子，有这样的6行，求棋子总数，横着看就是4的6倍或6个4相加，用算式表示4×6或6×4，竖着看一列有6颗，有这样的4列，也就是6的4倍或4个6相加，用算式表示4×6或6×4。有效的解释了4×6=6×4，两者都表示4的6倍或者6的4倍。
但聪明的老师一定不会让挑战到此结束，她一定会设置更具挑战性的问题来激发儿童的兴趣。
如：我是这样看这幅图的，谁能用文字语言和数学符号语言来解释呢？4的2倍加上4的4倍，4×2+4×4。还有不同的方法吗？4×1+4×5，4×3+4×3......
最后，还可以引导儿童将这样好玩的游戏制作成一个章鱼图，并用它们装饰教室。花瓶与花朵游戏、棋子游戏和章鱼图制作的目的不是准确得到乘法的结果，而是协助儿童建构乘法观念本身。这个对于乘法观念的建构至关重要，但往往被成人所忽略，通过创设一个简单的游戏情景，联系加法运算，便可得出九九乘法表，然后就迫不及待地进入到九九乘法表的背诵和记忆。记忆如此多的数字事实对有的儿童来说是很困难的，是极其枯燥乏味的，这样只会抑制儿童对乘法的兴趣和学习。
我们教师应该作何创新，使乘法的学习既符合当下儿童的认知发展规律，又能被中国当前的教育文化所接受呢？
此阶段的儿童仍然处于具体运算阶段，他们的内在认知结构虽具备了朝向高度形式化的可能性，但是仍需要大量可操作性的、能够协调儿童各种感觉和智能参与的操作活动，如队列游戏，操场上的跳格子游戏，节奏游戏，跳数轴游戏，在游戏中理解1个2是2，2个2是4......或者2的1倍是2，2的2倍是4......最后转化成关于2的乘法算式。画圈游戏是通过三种数学语言的相互转换，更深的理解乘法口诀，这样使乘法不再是重复机械的苦差事，而是有趣好玩的美事儿。
儿童在这么多游戏活动中，不仅仅更好的理解的乘法的本质含义，也无意识的记住了很多乘法口诀，他们可以根据记住的口诀推算出更多的乘法口诀，并制作章鱼图。
最后，可以根据一个乘法算式制作数字树，数字树关注的是运算与运算，数字与数字，数字与运算之间的关系，对与培养儿童的数感是十分重要的，一旦形成良好的数感，乘法表的背诵将是一件很简单的事情。
乘法观念建构成熟时，他们不再满足于表内的乘法，更大数的乘法更加吸引他们。
除法观念是如何建构的？
除法的学习也不例外，从形式化的乘法算式直接过渡到形式化的除法算式是不符合儿童认知发展规律的，仍然需要大量的动作游戏，积累动作经验，从而命名除法。24颗棋子有多少种平均分的可能性，先动手操作，再用文字语言与符号语言描述，最后制作烟花图，如24颗棋子平均分成4份，每份6颗，用加法算式如何表示？减法呢？乘法呢？除法呢？它关注的是加减乘除之间的关系，而不仅仅是乘除之间的关系。
在命名除法时，为什么要同步引入“平均分”和“包含除”两种除法含义呢？如果只讲平均分这一种含义，会给儿童造成理解上的困难，而这种困难在早期阶段可能不是很明显。但是，到后续的除法学习将会很麻烦，比如，用平均分是无法解释1÷这类除法问题，又或者说，100÷50如果用包含除将更快速得到答案。
怎样基于棋子游戏直接建立24÷4=？的平均分和包含除的连联系呢？横着看，把24颗棋子平均分成4份，每份6颗，根据看到的结果结合24÷4=？解释24平均分成4份，每份6颗。竖着看，一列有4颗，有这样的6列，结合算式可以理解为24里包含了6个4。
通过动作游戏理解除法的本质含义后，再通过编故事加深对除法含义的理解，随后才聚焦应用乘除互逆快速得到除法算式的结果。如何通过棋子游戏直接建立乘除互逆呢？从这样一幅图里不仅能看出4×6=24和6×4=24两个乘法算式，也可以得到24÷4=6和24÷6=4两个除法算式。这样一来，一个除法算式必然对应着两个乘法算式。同样，一个乘法算式必然也对应着两个除法算式。
就这样，一个除法算式在儿童大脑里便活了起来，儿童可以根据一个除法算式想到很多的算式，并制作出一个丰富的数字树。通过制作数字树沟通运算与运算，运算与数字，数字与数字之间的关系，使除法观念建构更加稳定，进而应用除法观念解决实际问题，应用“知二求一”思想进行故事改编。
这样的除法观念建构是动作化的，具体化的，活泼泼的，在儿童内在认知结构中，平均分配观念正式转化成除法观念，并与加法，减法，乘法观念形成了稳定的算术运算结构。截至目前为止，整个小学阶段的算术运算结构已经基本成型，它是整个小学阶段代数学习的起点。后续无非是数观念从100以内扩展到更大数的四则运算。或者数系的扩充。但是，每一次数系的扩充，都需要向学习自然数一样，思考三个核心问题：一，它是如何诞生的，越低段的孩子，就越需要通过大量的动手游戏，积累丰富的动作经验，随着经验的内化，从而形成科学的数观念；二、它既然是数，能不能比大小？为什么要比大小呢？三、它既然是数，能不能参与四则运算。
我们生活中仅仅有自然数够吗？2个苹果平均分给2个小朋友，每个小朋友得到1个苹果，可以用自然数“1”表示。如果只有1个苹果，平均分给两个小朋友，每个小朋友得到半个苹果，这半个苹果还能用自然数来表示吗？期待明天我们的红变老师为我们分享分数观念是如何在儿童大脑中建构生成的！
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